Une bijection (ou application biunivoque) d'un ensemble E vers un ensemble F est une application à la fois injective et surjective.
Une application d'un ensemble E vers un ensemble F est injective lorsque tout élément de F est l'image d'au plus un élément de E
(et donc deux éléments distincts de E ne peuvent avoir la même image).
En particulier, une fonction définie et continue sur un intervalle I de ℝ est injective si, et seulement si, elle est strictement monotone.
Une application d'un ensemble E vers un ensemble F est surjective lorsque tout élément de F est l'image d'au moins un élément de E.
Une application f : E → F est bijective si, et seulement s'il existe une application g : F → E telle que g ∘ f = idE et f ∘ g = idF.
g est la bijection réciproque de f et l'on note g = f -1.
Exemple 1 :
✓ La fonction f : x ↦ x² est une injection de [0 ; +∞[ dans ℝ.
✓ La fonction f : x ↦ x² est une surjection de ℝ dans [0 ; +∞[.
✓ La fonction f : x ↦ x² est une bijection de [0 ; +∞[ dans [0 ; +∞[ ; sa bijection réciproque est la fonction racine carrée.
Exemple 2 :
✓ La fonction f : x ↦ sin(x) est une injection de [-π/2 ; π/2] dans ℝ.
✓ La fonction f : x ↦ sin(x) est une surjection de ℝ dans [-1 ; 1].
✓ La fonction f : x ↦ sin(x) est une bijection de [-π/2 ; π/2] dans [-1 ; 1] ; sa bijection réciproque est la fonction Arc sin (aussi notée sin-1).
Exemple 3 :
La bijection réciproque de l'homothétie de centre Ω et de rapport k (réel non nul) est l'homothétie de même centre et de rapport inverse.
"Scientists have a special responsibility, a moral responsibility, in ensuring that science serves the interest of humanity in the best possible way."
His Holiness the 14th Dalaï Lama
(The Universe in a Single Atom)
